幾何寶庫

 

難度：☆

題目：
等腰梯形中AD||BC、AB=CD
證明AC^2=AB^2+AD*BC

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難度：☆☆☆☆

題目：
如圖，正七邊形ABCDEFG中
證明1/AB=1/AC+1/AD

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難度：☆☆☆

題目：
一四邊形ABCD同時有外接圓和內切圓
設AB=a,BC=b,CD=c,AD=d
證明四邊形ABCD面積為(abcd)^(1/2)

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難度：☆☆

題目：
如圖，△ABC的三個旁切圓和AB、BC、AC相切於F、D、E
證明AD、BE、CF三線共點

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難度：☆☆☆

題目：
∠ABC中，D為角平分線上的一點
過D做任意一條直線交AB、AC於E、F
證明1/BE+1/BF為定值

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難度：☆☆

題目：
如圖，平行四邊形ABCD
作CE⊥AB,CF⊥AD
證明AB*AE+AD*AF=AC^2

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難度：☆☆

題目：
直角三角形ABC中∠C為直角，D為AB上一點
證明(CD*AB)^2=(AD*BC)^2+(BD*AC)^2

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公式內容：
對於任意三角形ABC
△ABC面積={(ca)^2-[(c^2+a^2-b^2)/2]^2}^(1/2)
其中a,b,c可以互換
公式證明：
由Heron公式可知
設s=(a+b+c)/2
△ABC面積^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
=1/16*(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
=1/16*[(c+a)^2-b^2]*[b^2-(c-a)^2]
=1/16*[(2ac)^2-(a^2+c^2-b^2)]
=(ca)^2-[(c^2+a^2-b^2)/2]^2
兩邊開根號即可得
△ABC面積={(ca)^2-[(c^2+a^2-b^2)/2]^2}^(1/2)
得證

定理內容：
任意△ABC中，D為BC上任一點
則AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD
此定理也稱斯特瓦爾特定理
定理證明：
設∠ADC為θ
由餘弦定理得
AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cosθ......(1)
AB^2=AD^2+BD^2+2*AD*BD*cosθ......(2)
BD*(1)+CD*(2)→BD*AC^2+CD*AB^2=(BD+CD)AD^2+(BD+CD)BD*CD
BD*AC^2+CD*AB^2=BC*AD^2+BC*BD*CD
移項得AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD
得證
逆定理內容：
設B、D、C依次分別為從A點引出的三條射線AB、AD、AC上的點
若AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD
則B、D、C三點共線
逆定理正明：
設∠BDA=α,∠ADC=β
由餘弦定理得
AB^2=AD^2+BD^2-2*AD*BD*cosα......(3)
AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cosβ......(4)
BD*(2)+CD*(1)→BD*AC^2+CD*AB^2
=(BD+CD)AD^2+(BD+CD)BD*CD-2*AD*BD*CD(cosα+cosβ)
比照AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD
可得2*AD*BD*CD(cosα+cosβ)=0
→(cosα+cosβ)=0
α=180°-β
故B、D、C三點共線
得證

 
定理內容：
對於任意圓內接四邊形ABCD
則AB*CD+AD*BC=AC*BD
此定理也叫托勒密定理
定理證明：
 
在BD上取一點P使得∠BAP=∠CAD
∵∠BAP=∠CAD,∠ABP=∠ACD
∴△ABP～△ACD(AA)
→AB/AC=BP/CD
→AB*CD=AC*BP
∠BAC=∠BAP+∠PAC=∠CAD+∠PAC=∠PAD
∵∠BAC=∠PAD,∠BCA=∠PDA
∴△ABC～△APD(AA)
→BC/PD=AC/AD
→BC*AD=AC*PD
AB*CD+BC*AD=AC*BP+AC*PD=AC*BD
得證
逆定理內容：
四邊形ABCD中
若AB*CD+AD*BC=AC*BD
則此四邊形為圓內接四邊形
逆定理證明：
Ptolemy不等式中
等號成立的條件為E在BD上
此時∠ABD=∠ACD
即A、B、C、D四點共圓
即四邊形ABCD為圓內接四邊形
得證