[題目]幾何題85

難度：☆☆☆☆ 題目：在銳角三角形ABC中AD、BE、CF為三高以AD為直徑畫一圓交AB、AC於M、N 過A做MN垂直線交BC於D' 同樣可做出BE'、CF' 試證明AD'、BE'、CF'三線共點看解答請點此

設AD'和MN交點為G、連ND ∵∠AGM=∠AND=90°,∠AMG=∠ADN ∴△AGM和△AND相似(AA) →∠MGA=∠DAN 即∠BAD'=∠CAD 同理∠CBE'=∠ABE,∠ACF'=∠BCF ∵三高AD、BE、CF共點由Menelaus定理(角) ∴sin∠CAD/sin(∠A-∠CAD)*sin∠ABE/sin(∠B-∠ABE)*sin∠BCF/sin(∠C-∠BCF)=1 即sin∠BAD'/sin(∠A-∠BAD')*sin∠CBE'/sin(∠B-∠CBE')*sin∠ACF'/sin(∠C-∠ACF')=1 由Menelaus定理(角)逆定理得AD'、BE'、CF'三線共點得證