幾何寶庫

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難度：☆☆☆
題目：
△ABC中,BC>AC>AB
在BC上取一點D,在BA延長線上取一點E使得BD=BE=AC
F為△ABC和△BDE外接圓交點
試證明BF=AF+CF
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難度：☆☆☆
題目：
△A'B'C'在△ABC內
若從A'、B'、C'分別向BC、AC、AB的垂線交於一點
試證明從A、B、C分別向B'C'、A'C'、A'B'的垂線也交於一點
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難度：☆☆☆☆
題目：
I為△ABC內心,D、E、F為內切圓切點
其中D在BC上,E在AC上,F在AB上
延長DI交EF於A',延長EI交DF於B',延長FI交DE於C'
試證明AA'、BB'、CC'三線共點
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難度：☆☆☆
題目：
一圓交△ABC於六點D、D'、E、E'、F、F'
D、D'在BC上,E、E'在AC上,F、F'在AB上
若AD、BE、CF三線共點
試證明AD'、BE'、CF'三線也共點
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難度：☆☆☆☆
題目：
AB為圓O的直徑
X為圓上一點
BX交過A的切線於Y,AX交過B的切線於Z
過X的切線交AB延長線於K
試證明K、Y、Z三點共線
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難度：☆☆
題目：
四邊形ABCD對角線AC和BD交於M
過M作AD平行線交BC延長線於O
P為以O為圓心OM為半徑的圓上一點
試證明∠OPF=∠OEP
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定理內容：
圓O1、圓O2、圓O3是三個半徑不相同的圓
且任一圓不在其他圓裡
圓O1和圓O2外公切線交點為Y
圓O1和圓O3外公切線交點為X
圓O2和圓O3外公切線交點為Z
則X、Y、Z三點共線
定理證明：
 
顯然O1、O2、Y三點共線,O2、O3、Z三點共線,O1、O3、X三點共線
設圓O1、圓O2、圓O3半徑分別為r1、r2、r3
設圓O1和圓O3的其中一條外公切線切圓O1、圓O3於M、N
易證明△XMO1和△XNO3相似
得XO1/XO3=MO1/NO3=r1/r3
同理ZO3/ZO2=r3/r2,YO2/YO1=r2/r1
XO1/XO3*ZO3/ZO2*YO2/YO1=1
由Menelaus逆定理得X、Y、Z三點共線
得證

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難度：☆☆☆☆

題目：
I,O分別為三角形的內心和外心
試證明AO+BO+CO≧AI+BI+CI


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難度：☆☆☆☆
題目：
在銳角三角形ABC中AD、BE、CF為三高
以AD為直徑畫一圓交AB、AC於M、N
過A做MN垂直線交BC於D'
同樣可做出BE'、CF'
試證明AD'、BE'、CF'三線共點
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定理內容：
設P、Q為△ABC外接圓上異於A、B、C的任意兩點
P點關於BC、CA、AB的對稱點分別為U、V、W
QU、QV、QW和BC、CA、AB分別交於D、E、F
則D、E、F三點共線
定理證明：
 
∵W、U分別為P關於AB、BC的對稱點
∴∠WAF=∠PAF,∠UCB=∠PCB,PC=CU,PA=AW
∵P,A,B,C和Q,A,B,C共圓
∴∠PAF=∠PCB,∠QAF=∠QCB
所以∠QAW=∠QAF+∠WAF=∠QCB+∠PAF=∠QCB+∠PCB=∠QCB+∠UCB=∠QCU
即△QCU面積/△QAW=(QC*CU)/(QA*AW)=(QC*PC)/(QA*PA)
同理得
△QBW面積/△QCV面積=(QB*PB)/(QC*PC)
△QAV面積/△QBU面積=(QA*PA)/(QC*PC)
CD/BD*BF/AF*AE/CE
=△QCU面積/△QBU面積*△QBW面積/△QAW面積*△QAV面積/△QCV面積
=(QC*PC)/(QA*PA)*(QA*PA)/(QC*PC)*(QB*PB)/(QC*PC)
=1
由Menelaus逆定理得D、E、F三點共線
得證

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定理內容：
從三角形ABC外接圓上一點P向BC、AC、AB引線段PL、PM、PN成同向等角
則L、M、N三點共線
此定理也叫卡諾定理
當三個角都為90°時,即為Simson定理
定理證明：
  
∵∠PNA=∠PMC=∠PLC
可得A,N,P,M四點共圓、P,M,L,C四點共圓、P,L,A,B四點共圓
∠NMA=∠AMP-∠NMP=∠AMP-∠NAP=∠BLP-∠BCP=∠LPC=∠LMC
即L、M、N共線
得證
逆定理內容：
若△ABC所在平面上一點P對BC、AC、AB引線段PL、PM、PN成同向等角
且L、M、N共線
則P在△ABC外接圓上
逆定理證明：
  
∵∠PNA=∠PMC=∠PLC
可得A,N,P,M四點共圓、P,M,L,C四點共圓、P,L,A,B四點共圓
∠PAC=∠PAM=∠PNM=∠PNL=∠PBL=∠PBC
得P、A、B、C四點共圓
即P在ABC外接圓上
得證

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