幾何寶庫

 
定理內容：
△ABC中，直線AB上一點F，直線BC上一點D，直線AC上一點E
若F、E、D共線
則AF/FB*BD/CD*CE/EA=1
此定理也叫孟氏定理、梅氏定理、梅涅勞斯定理
定理證明：
 
AF/FBF*BD/CD*CE/EA
=△AFD/△BFD*△BFD/△CFD*CE/EA
=△AFD/△CFD*CE/EA
=AE/CE*CE/EA
=1
得證
逆定理內容：
△ABC中，直線AB上一點F，直線BC上一點D，直線AC上一點E
若AF/FB*BD/CD*CE/EA=1
則F、E、D共線
逆定理證明：
同一法
設直線DE交直線AB於F'
由Menelaus定理得AF'/F'B*BD/CD*CE/EA=1
比照條件AF/FB*BD/CD*CE/EA=1
得AF'/F'B=AF/FB
→AF'/(AF'+F'B)=AF/(AF+FB)
→AF'/AB=AF/AB
即F'和F為同一點
因此F、E、D共線
得證

 
定理內容：
直角三角形ABC中，∠C為直角
則AC^2+BC^2=AB^2
此定理也叫畢氏定理、勾股弦定理
定理證明：
 
作AB邊上的高CD
∠CAD=∠DCB
∠CBD=∠DCA
根據兩上式可得到
三角形ABC相似於三角形ACD→AB/AC=AC/AD→AC^2=AB*AD
三角形ABC相似於三角形CBD→AB/BC=BC/BD→BC^2=AB*BD
AC^2+BC^2=AB*AD+AB*BD=AB(AD+BD)=AB^2
得證
逆定理內容：
△ABC中若AC^2+BC^2=AB^2
則△ABC為直角三角形且∠C為直角
逆定理證明：
用反證法
 
若∠ACB>90°
則可在AC延長線上取一點D使得∠ADB=90°
則由商高定理得
AB^2=AD^2+BD^2=(AC+CD)^2+BD^2
=AC^2+(CD^2+BD^2)+2*AC*CD
=AC^2+BC^2+2*AC*CD>AC^2+BC^2
與題意矛盾
 
若∠ACB>90°
則可在AC線段上取一點D使得∠ADB=90°
則由商高定理得
AB^2=AD^2+BD^2=(AC-CD)^2+BD^2
=AC^2+(CD^2+BD^2)-2*AC*CD
=AC^2+BC^2-2*AC*CD<AC^2+BC^2
與題意矛盾
故∠ACB=90°且△ABC為直角三角形
得證