幾何寶庫

 
難度：☆☆☆
題目：
正方形ABCD中，E為BD上一點，F為CD上一點
∠FAE=45°
試證明BE+CF=EF
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難度：☆☆

題目：

 
定理內容：
設D、E、F分別為BC、CA、AB上的點
且AF/FB=x,BD/CD=y,CE/EA=z
AD、BE、CF相交得△PQR
則△PQR/△ABC=[(1-xyz)^2]/[(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)]
定理證明：
因直線CRF截ABD
由Menelaus定理有AR/RD*DC/CB*BF/FA=1
→AR/RD*1/(1+y)*1/x=1
→AR/RD=x(1+y)
→AR/AD=x(1+y)/(1+x+xy)
可知
△ARC=x(1+y)/(1+x+xy)*△ADC
=x(1+y)/(1+x+xy)*1/(1+y)*△ABC
=x/(1+x+xy)*△ABC
同理有
△ABP=y/(1+y+yz)*△ABC
△BCQ=z/(1+z+zx)*△ABC
從而
△PQR=[1-x/(1+x+xy)-y/(1+y+yz)-z/(1+z+zx)]*△ABC
=[(1-xyz)^2]/[(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)]*△ABC
故△PQR/△ABC=[(1-xyz)^2]/[(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)]
得證

 

難度：☆☆☆

題目：
正△ABC外有一點D，使得∠CDB=120°
試證AD=CD+BD

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定理內容：
△ABC中，直線AC上一點E，直線BC上一點D，直線AB上一點F
若AD、BE、CF平行或共點
則sin∠BAD/sin∠DAC*sin∠CBE/sin∠EBA*sin∠ACF/sin∠FCB=1
定理證明：
BD/DC=△BAD/△DAC=(AB*AD*sin∠BAD)/(DC*AD*sin∠DAC)
=(AB*sin∠BAD)/(DC*sin∠DAC)
同理
AF/FB=(AC*sin∠ACF)/(BC*sin∠FCB)
CE/EA=(BC*sin∠CBE)/(AB*sin∠EBA)
以上三式相乘,運用Ceva定理及其定理
得AD、BE、CF平行或共點
sin∠BAD/sin∠DAC*sin∠CBE/sin∠EBA*sin∠ACF/sin∠FCB=1

 
定理內容：
△ABC中，直線AC上一點E，直線BC上一點D，直線AB上一點F
若AD、BE、CF三線共點或互相平行
則AF/FB*BD/DC*CE/EA=1
此定理也叫西瓦定理、塞瓦定理
定理證明：
 
AF/FB*BD/DC*CE/EA
=△CAG/CBG*△ABG/△ACG*△BCG/△BAG
=1
得證
逆定理內容：
△ABC中，直線AC上一點E，直線BC上一點D，直線AB上一點F
若AF/FB*BD/DC*CE/EA=1AD、BE、CF三線共點
則AD、BE、CF三線共點或互相平行
逆定理證明：
同一法
設AD與BE的交點為G
設CG與AB的交點為F'
由Ceva定理
AF'/F'B*BD/DC*CE/EA=1
比照條件AF/FB*BD/DC*CE/EA=1
得AF'/F'B=AF/FB
即AF'/AB=AF/AB
即F'和F為同一點
故AD、BE、CF三線共點
得證

 
定理內容：
設D,E,F為△ABC三邊或其延長線上三點
且AF/FB=x,BD/CD=y,CE/EA=z
則△DEF/△ABC=(1+xyz)/[(1+x)(1+y)(1+z)]
定理證明：
 
△ABD/△BDF=(BF+FA)/BF=1+x
△ABC/△ABD=(BD+DC)/BD=1+1/y
∴△BDF=y/[(1+x)(1+y)]*△ABC
同理
△CDE=z/[(1+y)(1+z)]*△ABC
△AEF=x/[(1+x)(1+z)]*△ABC
△DEF={1-y/[(1+x)(1+y)]-z/[(1+y)(1+z)]-x/[(1+x)(1+z)]}*△ABC
=(1+xyz)/[(1+x)(1+y)(1+z)]*△ABC
即△DEF/△ABC=(1+xyz)/[(1+x)(1+y)(1+z)]
得證
當DEF共線時△DEF=0
故有1+xyz=0→xyz=-1
即為Menelaus定理

  
定理內容：
△ABC中，直線AB上一點F，直線BC上一點D，直線AC上一點E
則F、E、D共線的充分必要條件為
sin∠BAD/sin∠DAC*sin∠CBE/sin∠EBA*sin∠ACF/sin∠FCB=1
定理證明：
 
BD/DC=△BAD/△DAC=(AB*AD*sin∠BAD)/(DC*AD*sin∠DAC)
=(AB*sin∠BAD)/(DC*sin∠DAC)
同理
AF/FB=(AC*sin∠ACF)/(BC*sin∠FCB)
CE/EA=(BC*sin∠CBE)/(AB*sin∠EBA)
以上三式相乘,運用Menelaus定理及其逆定理
得F、E、D共線的充分必要條件為
sin∠BAD/sin∠DAC*sin∠CBE/sin∠EBA*sin∠ACF/sin∠FCB=1
得證

 
難度：☆☆☆
題目：
AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=90度,M為BE中點
試證AM垂直CD
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難度：☆☆

題目：
三角形ABC中，G為三角形重心
試證：AB^2+BC^2+AC^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)

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