難度：☆☆ 題目： 三角形ABC中，G為三角形重心 試證：AB^2+BC^2+AC^2=3(AG^2+BG^2+CG^2) 看證明請點此
分別延長AG、BG、CG交三邊於D、E、F
由中線定理得
2(AB^2+BC^2+AC^2)
=AB^2+BC^2+BC^2+AC^2+AC^2+AB^2
=2(CE^2+BE^2)+2(AF^2+CF^2)+2(BD^2+AD^2)
=(2*BD^2+2*CE^2+2*AF^2)+(2*BE^2+2*CF^2+2*AD^2)
=1/2*(AB^2+BC^2+AC^2)+2*(3/2)^2*(AG^2+BG^2+CG^2)
=1/2*(AB^2+BC^2+AC^2)+9/2*(AG^2+BG^2+CG^2)
移項得
3/2*(AB^2+BC^2+AC^2)=9/2*(AG^2+BG^2+CG^2)
兩邊同乘以3/2得
AB^2+BC^2+AC^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)
得證
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