幾何寶庫

 
定理內容：
圓O1、圓O2、圓O3是三個半徑不相同的圓
且任一圓不在其他圓裡
圓O1和圓O2外公切線交點為Y
圓O1和圓O3外公切線交點為X
圓O2和圓O3外公切線交點為Z
則X、Y、Z三點共線
定理證明：
 
顯然O1、O2、Y三點共線,O2、O3、Z三點共線,O1、O3、X三點共線
設圓O1、圓O2、圓O3半徑分別為r1、r2、r3
設圓O1和圓O3的其中一條外公切線切圓O1、圓O3於M、N
易證明△XMO1和△XNO3相似
得XO1/XO3=MO1/NO3=r1/r3
同理ZO3/ZO2=r3/r2,YO2/YO1=r2/r1
XO1/XO3*ZO3/ZO2*YO2/YO1=1
由Menelaus逆定理得X、Y、Z三點共線
得證

 
定理內容：
設P、Q為△ABC外接圓上異於A、B、C的任意兩點
P點關於BC、CA、AB的對稱點分別為U、V、W
QU、QV、QW和BC、CA、AB分別交於D、E、F
則D、E、F三點共線
定理證明：
 
∵W、U分別為P關於AB、BC的對稱點
∴∠WAF=∠PAF,∠UCB=∠PCB,PC=CU,PA=AW
∵P,A,B,C和Q,A,B,C共圓
∴∠PAF=∠PCB,∠QAF=∠QCB
所以∠QAW=∠QAF+∠WAF=∠QCB+∠PAF=∠QCB+∠PCB=∠QCB+∠UCB=∠QCU
即△QCU面積/△QAW=(QC*CU)/(QA*AW)=(QC*PC)/(QA*PA)
同理得
△QBW面積/△QCV面積=(QB*PB)/(QC*PC)
△QAV面積/△QBU面積=(QA*PA)/(QC*PC)
CD/BD*BF/AF*AE/CE
=△QCU面積/△QBU面積*△QBW面積/△QAW面積*△QAV面積/△QCV面積
=(QC*PC)/(QA*PA)*(QA*PA)/(QC*PC)*(QB*PB)/(QC*PC)
=1
由Menelaus逆定理得D、E、F三點共線
得證

  
定理內容：
從三角形ABC外接圓上一點P向BC、AC、AB引線段PL、PM、PN成同向等角
則L、M、N三點共線
此定理也叫卡諾定理
當三個角都為90°時,即為Simson定理
定理證明：
  
∵∠PNA=∠PMC=∠PLC
可得A,N,P,M四點共圓、P,M,L,C四點共圓、P,L,A,B四點共圓
∠NMA=∠AMP-∠NMP=∠AMP-∠NAP=∠BLP-∠BCP=∠LPC=∠LMC
即L、M、N共線
得證
逆定理內容：
若△ABC所在平面上一點P對BC、AC、AB引線段PL、PM、PN成同向等角
且L、M、N共線
則P在△ABC外接圓上
逆定理證明：
  
∵∠PNA=∠PMC=∠PLC
可得A,N,P,M四點共圓、P,M,L,C四點共圓、P,L,A,B四點共圓
∠PAC=∠PAM=∠PNM=∠PNL=∠PBL=∠PBC
得P、A、B、C四點共圓
即P在ABC外接圓上
得證

 
Fermat點(費瑪點)：
△ABC三內角都小於120°
則平面上一點P使得PA+PB+PC的值最小的P點稱作Fermat點
此時∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
證明：
 
如圖,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
分別過A、B、C作PA、PB、PC的垂線
三線交於D、E、F
∵∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
∴∠AFB=∠BDC=∠CEA=60°
→△DEF為正三角形
M為平面上一點
過M作△DEF三邊垂線其垂足為Q、R、S
由Viviani定理可得PA+PB+PC=MQ+MR+MS
∵∠MQA=∠MRB=∠MSC=90°
∴MA+MB+MC≧MQ+MR+MS=PA+PB+PC
等號在M點和P點重合時成立
得證

 
定理內容：
連接外切圓的六邊形ABCDEF的相對頂點的三條對角線AD、BE、CF共點
此定理也叫布里昂雄定理
定理證明：
 
先看引理
若P'、Q'是圓O在P、Q處切線上的點且在PQ同側
若PP'=QQ'
則存在一個圓與PP'、QQ'相切於P'、Q'
以下是引理證明
作PQ的中垂線L
則整個圖形關於L對稱
從而過點P'、Q'的垂線交L於同一點O'
以O'為圓心O'P'為半徑的圓則會與PP'、QQ'切於P、Q
引理得證
接著要來證明Brianchon定理
 
如圖ABCDEF是圓外切六邊形
R、Q、T、S、P、U為切點
在PF、QB、RB、SD、TD、UF延長線分別取點P'、Q'、R'、S'、T'、U'
使得PP'=QQ'=RR'=SS'=TT'=UU'
由引理存在圓Ⅰ與PP'、QQ'切於P'、Q'
存在圓Ⅱ與RR'、SS'切於R'、S'
存在圓Ⅲ與TT'、UU'切於T'、U'
又由切線性質可知AR=AU、DT=DS
所以有AR'=AU'、DS'=DT'
即AD為圓Ⅱ和圓Ⅲ的等冪軸
同理BE為圓Ⅰ和圓Ⅱ的等冪軸、CF為圓Ⅰ和圓Ⅲ的等冪軸
設AD、BE交於O
則O與圓Ⅰ、圓Ⅱ等冪、與圓Ⅱ、圓Ⅲ等冪
即O在CF上
故AD、BE、CF交於一點O
得證

 
定理內容：
將任意三角形的各角三等分
則與每邊相鄰的兩條三等分線的交點構成一個正三角形
此定理也叫莫利定理
定理證明：
 
如圖，設△ABC的∠A=3α,∠B=β,∠C=γ
與BC相鄰的兩條三等分分角線交於X
∠B和∠C的另兩條三等分分角線交於S
則X為△SBC的內心
從而XS平分∠BSC
在SX兩側分別作∠SXZ=∠SXY=30°
且Z、Y分別在BS、CS上
則△SXZ全等於△SXY
所以XZ=XY
又∠ZXY=60°
故△XYZ為正三角形
接下來要證AZ、AY三等分∠A
分別在BA、CA取BX'=BX,CX"=CX
則△BZX'全等於△BZX
從而ZX'=ZX=ZY
同理有YX"=ZY
所以X'Z=ZY=YX"
∠X'ZY=360°-2∠BZX-60°
=360°-2(∠S/2+30°)-60°
=240°-∠S
=240°-(180°-2β-2γ)
=60°+2(β+γ)
=60°+2(60°-α)
=180°-2α
同理∠ZYX"=180°-2α
作X'ZY的外接圓O由對稱性知X"也在圓O上
易證明圓心角∠X'OZ=∠ZOY=∠YOX"=2α
故∠X'OX"=6α
又因為∠A=3α
故A也在圓O上
又弦X'Z=ZY=YX"
得AZ、AY為∠A的三等分線
故得證

 
定理內容：
圓上六點A、B、C、D、E、F
AB和DE交點為L
CD和AF交點為M
BC和EF交點為N
則L、M、N三點共線
此定理也叫帕斯卡定理、巴斯卡定理
定理證明：
 
如圖，直線CD、直線EF交於U
直線AB交直線CD、直線EF於W、V
直線DE、AF、BC分別截△UVW
由Menelaus定理有
VL/LW*WD/DU*UE/EV=1......(1)
VA/AW*WM/MU*UF/FV=1......(2)
VB/BW*WC/CU*UN/NV=1......(3)
由圓冪定理可得
WD/DU*UE/EV*VA/AW*UF/FV*VB/BW*WC
=(UE*UF)/(UC*UD)*(VA*VB)/(VE*VF)*(WC*WD)/(WA*WB)=1
(1)*(2)*(3)得VL/LW*WM/MU*UN/NV=1
由Menelaus逆定理得L、M、M三點共線
得證

 

定理內容：
設A、C、E是一直線上三點,B、D、F是另一直線上三點
如果AB、CD、EF分別與DE、FA、BC相交
則三個交點L、M、N三點共線
此定理也叫帕普斯定理

定理證明：

 

如圖，設直線CD與直線EF交於U
直線AB交直線CD、EF於W、V

運用Menelaus定理
△UVW有五條截線AF、BC、AC、BF、DE
可得以下五式
VL/LW*WD/DU*UE/EV=1......(1)
VA/AW*WM/MU*UF/FV=1......(2)
VB/BW*WC/CU*UN/NV=1......(3)
VA/AW*WC/CU*UE/EV=1......(4)
CB/BW*WD/DU*UF/FV=1......(5)

[(1)*(2)*(3)]/[(4)*(5)]可得
VL/LW*WM/MU*UN/NV=1

由Menelaus逆定理可得L、M、N三點共線

得證

 
定理內容：
若兩個三角形對應頂點的連線共點
則其對應邊的交點共線
此定理也叫笛沙格定理、戴沙格定理
定理證明：
 
如圖，△ABC和△A'B'C'其對應頂點連線AA'、BB'、CC'交於一點S
BC與B'C'交於P、AC與A'C'交於Q、AB與A'B'交於R
由直線PB'C'截△SBC
由Menelaus定理有
BP/PC*CC'/C'S*SB'/B'B=1
同理由直線QC'A'截△SCA有
CQ/QA*AA'/A'S*SC'/C'C=1
由直線RB'A截△SAB有
AR/RB*BB'/B'S*SA'/A'A=1
以上三式相乘即得BP/PC*CQ/QA*AR/RB=1
由Menelaus逆定理得P、Q、R三點共線
得證
逆定理內容：
若兩個三角形對應邊的交點共線
則他們對應頂點的連線共點
逆定理證明：
  
如圖，△ABC和△A'B'C對應邊交點P、Q、R共線
BB直線、AA直線交於S
由直線SCC'截△SBC
由Menelaus定理有
QC'/C'A'*A'S/SA*AC/CQ=1
同理由直線PRQ截△A'B'C'有
A'C'/C'Q*QP/PR*RB'/B'A'=1
由直線PBC截△AQR有
AB/BR*RP/PQ*QC/CA=1
以上三式相乘有
RB'/B'A'*A'S/SA*AB/BR=1
由Menelaus逆定理得S、B、B'三點共線
即AA'、BB'、CC'交於一點S
得證

 
定理內容：
以三角形各邊為邊分別向外側作正三角形
則三個正三角形的中心構成一個正三角形
此定理也叫拿破崙定理
定理證明：
 
如圖△A'BC、△AB'C、△ABC'是以△ABC三邊向外作的三個正三角形
X、Y、Z分別為三正三角形的中心
連AA'、BB'、CC'
∵AB'=AC,AC'=AB,∠CAC'=∠BAB'
∴△BAB'全等於△C'AC(SAS)
→BB'=CC'
同理可得AA'=BB'
所以AA'=BB'=CC'
BZ=√3/3*AB,BX=√3/3*BC
∵BZ/BX=AB/BC=BC'/BC,∠ZBX=∠C'BC
∴△ZBX全等於△C'BC(SAS)
→XZ/CC'=√3/3
同理XY/AA'=YZ/BB'=√3/3
故XY=YZ=XZ
即△XYZ為正三角形
得證