Fermat點(費瑪點)：
△ABC三內角都小於120°
則平面上一點P使得PA+PB+PC的值最小的P點稱作Fermat點
此時∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
證明：
如圖,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
分別過A、B、C作PA、PB、PC的垂線
三線交於D、E、F
∵∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
∴∠AFB=∠BDC=∠CEA=60°
→△DEF為正三角形
M為平面上一點
過M作△DEF三邊垂線其垂足為Q、R、S
由Viviani定理可得PA+PB+PC=MQ+MR+MS
∵∠MQA=∠MRB=∠MSC=90°
∴MA+MB+MC≧MQ+MR+MS=PA+PB+PC
等號在M點和P點重合時成立
得證
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幾何題目 (6)
不好意思 最後∵∠MQA=∠MRB=∠MSC=90度 ∴ MA=MB=MC≧MQ+MR+MS=PA+PB+PC 這邊我不懂為什麼 謝謝^^
直角三角形的斜邊會比股邊大(也可以用大角對大邊) 所以可以得到MA=MB=MC≧MQ+MR+MS 利用面積可知道 邊長*(MQ+MR+MS)=邊長*(PA+PB+PC) 所以MQ+MR+MS=PA+PB+PC
請問如何證明費瑪點是由正三角形AFB 、BDC、CEA外接圓相交的點? 然後也是連接ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ三線的交點？
(1) ∵∠APB=120°,∠AFB=60° ∴P,A,F,B四點共圓 同理P,B,D,C四點共圓、P,C,E,A四點共圓 及三圓交於一點P 得證 (2) 由上題結論知P,A,F,B四點共圓 可得∠APF=∠ABF=60° 即C,P,F三點共線 同理A,P,D三點共線、B,P,E三點共線 即AD、BE、CF三線交於一點P 得證
為什麼角APB是120度 角AFB是60度 PAFB四點就會共圓 AND 為什麼角APF=角ABF等於60度 CPF三點就會共線??? 抱歉唷，一直問問題 因為我們要搞個主題上台報告 感謝你的提供 幫助我很多 我會大大介紹你的網站給大家的︿︿
因為P是費瑪點所以∠CPA=120° 所以∠FPC=∠APF+∠CPA=60°+120°=180° 所以C,P,F三點共線