難度：☆☆☆☆☆
題目：
如圖,已知H是銳角三角形ABC的垂心
已BC邊中點A0為圓心,過H的圓交BC於A1、A2
已CA邊中點B0為圓心,過H的圓交CA於B1、B2
已AB邊中點C0為圓心,過H的圓交BC於C1、C2
證明A1、A2、B1、B2、C1、C2六點共圓
看解答請點此
連A0C0交BH於P
∵A0,C0各為BC、AB的中點
∴A0C0平行AC
從而A0C0⊥BH
作△ABC外心O
連OA0顯然OA0⊥BC
由畢氏定理得
BC0^2-HC0^2=BP^2-HP^2=BA0^2-HA0^2
又BO^2-OA1^2=BA0^2-A1A0^2=BA0^2-HA0^2=BC0^2-HC0^2
同理可得BO^2-OC2^2=BC0^2-HC0^2
故OA1=OC2
同理可得OA2=OB1、OB2=OC1
又OA1=OA2
可得OA1=OA2=OB1=OB2=OC1=OC2
即A1、A2、B1、B2、C1、C2六點都在以O為圓心OA1為半徑的圓上
得證
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