[題目]幾何題75

難度：☆☆☆☆☆ 題目： P為△ABC內一點且∠BPC-∠BAC=∠APB-∠ACB=∠CPA-∠CBA 試證明PB*AC=PC*AB=PA*BC 看解答請點此

取Q點使得∠BPQ=∠BAC,∠PBQ=∠ABC 顯然△ABC和△PBQ相似(AA) 得PB*AC=PQ*AB...(1) PB/BQ=AB/BC ∵ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ,PB/BQ=AB/BC ∴△ABP和△CBQ相似(SAS) →∠BCQ=∠PAB 由已知可得∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PCB=∠PCA+∠PBA=60° ∵∠QPC=∠BPC-∠BAC=∠PBA+∠PCA=60° 且∠QCP=∠PCB+∠BCQ=∠PCB+∠PAB=60° ∴△PQC為正三角形 →PQ=PC 故由(1)得PB*AC=PC*AB 同理即得PB*AC=PC*AB=PA*BC 得證