難度：☆☆☆☆ 題目： 六邊形ABCDEF對邊兩兩平行 直線CF交AB、DE延長線於X1、X2 直線AD交FE、BC延長線於Y1、Y2 直線BE交CD、AF延長線於Z1、Z2 試證明若X1、Y1、Z1三點共線 則X2、Y2、Z2三點也共線且直線X1Y1Z1平行X2Y2Z2 看解答請點此
如圖，設X1X2、Y1Y2、Z1Z2互相交於P、Q、R
因X1、Y1、Z1共線由Menelaus定理得
PX1/X1Q*QZ1/Z1R*RY1/Y1P=1
若能證明
PY2/Y2R*RZ2/Z2Q*QX2/X2P=1
則可得到X2、Y2、Z2三點共線
又由平行線可得以下比例
PX1/PX2=PA/PD=AF/CD......(1)
QZ1/QZ2=QC/QF=BC/FE......(2)
RY1/RY2=RE/RB=DE/AB......(3)
QX2/QX1=QE/QB=EF/BC......(4)
RZ2/RZ1=RA/RD=AB/DE......(5)
PY2/PY1=PC/PF=CD/AF......(6)
(PX1/X1Q*QZ1/Z1R*RY1/Y1P)*(PY2/Y2R*RZ2/Z2Q*QX2/X2P)
=(1)*(2)*(3)*(4)*(5)*(6)
=1
即PY2/Y2R*RZ2/Z2Q*QX2/X2P=1
得X2、Y2、Z2三點共線
又PX1/PX2=PA/PD=AF/CD=PF/PC=PY1/PY2
即直線X1Y1Z1平行X2Y2Z2
得證
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