幾何寶庫

公式內容：
在四邊形ABCD中
AB=a,BC=b,CD=c,DA=d
設p=(a+b+c+d)/2
且∠A+∠C=2θ
則此四邊形面積=[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-4abcd*cos^2θ]^(1/2)

公式證明：
設S為四邊形ABCD面積

△ABD面積=1/2*ad*sinA
△CBD面積=1/2*bc*sinC

S=1/2(ad*sinA+bc*sinC)
4S^2=(ad*sinA+bc*sinC)^2

由餘弦定理得
BD^2=a^2+d^2-2ad*cosA=b^2+c^2-2bc*cosC
ad*cosA-bc*cosC=-1/2*(b^2+c^2-a^2-d^2)

4S^2+1/4*(b^2+c^2-a^2-d^2)^2
=(ad*sinA+bc*sinC)^2+(ad*cosA-bc*cosC)^2
=(ad)^2+(bc)^2-2abcd*cos2θ
=(ad)^2+(bc)^2-2abcd*(2cos^2θ-1)
=(ad+bc)^2-4abcd*cos^2θ

16S^2
=4(ad+bc)^2-(b^2+c^2-a^2-d^2)^2-16abcd*cos^2θ
=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd*cos^2θ

即S=[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-4abcd*cos^2θ]^(1/2)

得證