幾何寶庫

 

定理內容：
連接外切圓的六邊形ABCDEF的相對頂點的三條對角線AD、BE、CF共點
此定理也叫布里昂雄定理

定理證明：

 

先看引理
若P'、Q'是圓O在P、Q處切線上的點且在PQ同側
若PP'=QQ'
則存在一個圓與PP'、QQ'相切於P'、Q'

以下是引理證明

作PQ的中垂線L
則整個圖形關於L對稱
從而過點P'、Q'的垂線交L於同一點O'
以O'為圓心O'P'為半徑的圓則會與PP'、QQ'切於P、Q

引理得證

接著要來證明Brianchon定理

 

如圖ABCDEF是圓外切六邊形
R、Q、T、S、P、U為切點
在PF、QB、RB、SD、TD、UF延長線分別取點P'、Q'、R'、S'、T'、U'
使得PP'=QQ'=RR'=SS'=TT'=UU'

由引理存在圓Ⅰ與PP'、QQ'切於P'、Q'
存在圓Ⅱ與RR'、SS'切於R'、S'
存在圓Ⅲ與TT'、UU'切於T'、U'

又由切線性質可知AR=AU、DT=DS
所以有AR'=AU'、DS'=DT'
即AD為圓Ⅱ和圓Ⅲ的等冪軸
同理BE為圓Ⅰ和圓Ⅱ的等冪軸、CF為圓Ⅰ和圓Ⅲ的等冪軸

設AD、BE交於O
則O與圓Ⅰ、圓Ⅱ等冪、與圓Ⅱ、圓Ⅲ等冪
即O在CF上

故AD、BE、CF交於一點O

得證