幾何寶庫

定理內容：
任意△ABC中，D為BC上任一點
則AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD
此定理也稱斯特瓦爾特定理

定理證明：
設∠ADC為θ
由餘弦定理得
AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cosθ......(1)
AB^2=AD^2+BD^2+2*AD*BD*cosθ......(2)
BD*(1)+CD*(2)→BD*AC^2+CD*AB^2=(BD+CD)AD^2+(BD+CD)BD*CD
BD*AC^2+CD*AB^2=BC*AD^2+BC*BD*CD
移項得AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD

得證


逆定理內容：
設B、D、C依次分別為從A點引出的三條射線AB、AD、AC上的點
若AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD
則B、D、C三點共線

逆定理正明：
設∠BDA=α,∠ADC=β
由餘弦定理得
AB^2=AD^2+BD^2-2*AD*BD*cosα......(3)
AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cosβ......(4)
BD*(2)+CD*(1)→BD*AC^2+CD*AB^2
=(BD+CD)AD^2+(BD+CD)BD*CD-2*AD*BD*CD(cosα+cosβ)

比照AD^2=AB^2*CD/BC+AC^2*BD/BC-BD*CD
可得2*AD*BD*CD(cosα+cosβ)=0
→(cosα+cosβ)=0
α=180°-β

故B、D、C三點共線

得證