a031-1.jpg 

Fermat點(費瑪點):
△ABC三內角都小於120°
則平面上一點P使得PA+PB+PC的值最小的P點稱作Fermat點
此時∠APB=∠BPC=∠CPA=120°

證明:

a031-2.jpg 

如圖,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°

分別過A、B、C作PA、PB、PC的垂線
三線交於D、E、F
∵∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
∴∠AFB=∠BDC=∠CEA=60°
→△DEF為正三角形


M為平面上一點
過M作△DEF三邊垂線其垂足為Q、R、S
Viviani定理可得PA+PB+PC=MQ+MR+MS

∵∠MQA=∠MRB=∠MSC=90°
∴MA+MB+MC≧MQ+MR+MS=PA+PB+PC

等號在M點和P點重合時成立

得證




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ej0cl6 發表在 痞客邦 PIXNET 留言(3) 人氣()


留言列表 (3)

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  • 你的網頁很棒  幫助很多^^
  • 不好意思
    最後∵∠MQA=∠MRB=∠MSC=90度
    ∴ MA=MB=MC≧MQ+MR+MS=PA+PB+PC
    這邊我不懂為什麼

    謝謝^^
  • 直角三角形的斜邊會比股邊大(也可以用大角對大邊)

    所以可以得到MA=MB=MC≧MQ+MR+MS

    利用面積可知道 邊長*(MQ+MR+MS)=邊長*(PA+PB+PC)

    所以MQ+MR+MS=PA+PB+PC

    ej0cl6 於 2009/05/26 20:13 回覆

  • 謝謝你
  • 請問如何證明費瑪點是由正三角形AFB 、BDC、CEA外接圓相交的點?

    然後也是連接AD、BE、CF三線的交點?
  • (1)

    ∵∠APB=120°,∠AFB=60° ∴P,A,F,B四點共圓

    同理P,B,D,C四點共圓、P,C,E,A四點共圓

    及三圓交於一點P 得證

    (2)

    由上題結論知P,A,F,B四點共圓

    可得∠APF=∠ABF=60° 即C,P,F三點共線

    同理A,P,D三點共線、B,P,E三點共線

    即AD、BE、CF三線交於一點P 得證

    ej0cl6 於 2009/05/30 18:39 回覆

  • 謝謝你
  • 為什麼角APB是120度 角AFB是60度 PAFB四點就會共圓

    AND

    為什麼角APF=角ABF等於60度 CPF三點就會共線???

    抱歉唷,一直問問題
    因為我們要搞個主題上台報告
    感謝你的提供 幫助我很多
    我會大大介紹你的網站給大家的︿︿
  • 因為P是費瑪點所以∠CPA=120°

    所以∠FPC=∠APF+∠CPA=60°+120°=180°

    所以C,P,F三點共線

    ej0cl6 於 2009/06/01 19:14 回覆

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