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難度：☆☆☆☆
題目：
在銳角三角形ABC中AD、BE、CF為三高
以AD為直徑畫一圓交AB、AC於M、N
過A做MN垂直線交BC於D'
同樣可做出BE'、CF'
試證明AD'、BE'、CF'三線共點
看解答請點此
設AD'和MN交點為G、連ND
∵∠AGM=∠AND=90°,∠AMG=∠ADN
∴△AGM和△AND相似(AA)
→∠MGA=∠DAN
即∠BAD'=∠CAD
同理∠CBE'=∠ABE,∠ACF'=∠BCF
∵三高AD、BE、CF共點
由Menelaus定理(角)
∴sin∠CAD/sin(∠A-∠CAD)*sin∠ABE/sin(∠B-∠ABE)*sin∠BCF/sin(∠C-∠BCF)=1
即sin∠BAD'/sin(∠A-∠BAD')*sin∠CBE'/sin(∠B-∠CBE')*sin∠ACF'/sin(∠C-∠ACF')=1
由Menelaus定理(角)逆定理
得AD'、BE'、CF'三線共點
得證
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