難度：☆☆☆☆
題目：
四邊形ABCD內接於圓
對角線AC和BD交點為Q
Q對AB、BC、CD、DA做垂線的垂足分別為E、F、G、H
試證明直線FG、直線EH、直線BD平行或共點
看解答請點此
易證明△AEQ相似△DGQ
得AE=DG*QA/QD
同理BE=GC*QB/QC,AH=BF*QA/QB,DH=CF*QD/QC
若EH平行BD
則可知AE/BE=AH/DH
→DG/GC*QA/QD*QC/QB=BF/CF*QA/AB*AC/QD
→DG/DC=BF/CF
即FG平行BD
即直線EH、BD、FG三線互相平行
若EH不平行BD,如圖設EH和BD的交點為M
以下證明F、G、M共線
由Menelaus定理得
AE/EB*BM/MD*DH/AH=1
→GD/GC*CF/BF*BM/MD*QA/QD*QC/QB*QD/QC*QB/QA=1
→GD/GC*CF/BF*BM/MD=1
由Menelaus逆定理得F、G、M共線
原題得證
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