難度：☆☆☆☆☆
題目：
P為△ABC內一點
且∠BPC-∠BAC=∠APB-∠ACB=∠CPA-∠CBA
試證明PB*AC=PC*AB=PA*BC
看解答請點此
取Q點使得∠BPQ=∠BAC,∠PBQ=∠ABC
顯然△ABC和△PBQ相似(AA)
得PB*AC=PQ*AB...(1)
PB/BQ=AB/BC
∵ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ,PB/BQ=AB/BC
∴△ABP和△CBQ相似(SAS)
→∠BCQ=∠PAB
由已知可得∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PCB=∠PCA+∠PBA=60°
∵∠QPC=∠BPC-∠BAC=∠PBA+∠PCA=60°
且∠QCP=∠PCB+∠BCQ=∠PCB+∠PAB=60°
∴△PQC為正三角形
→PQ=PC
故由(1)得PB*AC=PC*AB
同理即得PB*AC=PC*AB=PA*BC
得證
全站熱搜
留言列表
幾何題目 (6)