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定理內容:
將任意三角形的各角三等分
則與每邊相鄰的兩條三等分線的交點構成一個正三角形
此定理也叫莫利定理

定理證明:

a028-2.jpg 

如圖,設△ABC的∠A=3α,∠B=β,∠C=γ
與BC相鄰的兩條三等分分角線交於X
∠B和∠C的另兩條三等分分角線交於S
則X為△SBC的內心
從而XS平分∠BSC

在SX兩側分別作∠SXZ=∠SXY=30°
且Z、Y分別在BS、CS上
則△SXZ全等於△SXY
所以XZ=XY

又∠ZXY=60°
故△XYZ為正三角形

接下來要證AZ、AY三等分∠A

分別在BA、CA取BX'=BX,CX"=CX
則△BZX'全等於△BZX
從而ZX'=ZX=ZY
同理有YX"=ZY
所以X'Z=ZY=YX"

∠X'ZY=360°-2∠BZX-60°
=360°-2(∠S/2+30°)-60°
=240°-∠S
=240°-(180°-2β-2γ)
=60°+2(β+γ)
=60°+2(60°-α)
=180°-2α
同理∠ZYX"=180°-2α

作X'ZY的外接圓O由對稱性知X"也在圓O上
易證明圓心角∠X'OZ=∠ZOY=∠YOX"=2α
故∠X'OX"=6α
又因為∠A=3α
故A也在圓O上
又弦X'Z=ZY=YX"
得AZ、AY為∠A的三等分線

故得證

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留言列表 (2)

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  • 國中生
  • 太帥了!請問這是誰寫的證明?
  • 這是在書上查到的=)
    可以參考九章出版社/黃家禮編的"幾何明珠"

    ej0cl6 於 2009/03/06 20:52 回覆

  • joy091
  • 以下節錄自凡異出版的<幾何學新探索> (原名Geometry Revisited) 第50頁,作者為H.S.M.Coxeter & S.L.Greitzer 陳維桓 翻譯。

    Morley 定理由F.Morley在1904年左右發現的,他在給英國劍橋的一位朋友的信中提到了這個定理,後來過了20年才在日本發表。在此期間,該定理再次被發現並作為問題出現在<Educational Tumes>上。送交的答案有兩個,上述證明是M.T.Naraniengar給出的。

    另有參考文獻
    Mathenatical Questions and Their Solutions from the Educational Times(New Series),15(1909),p.47.