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定理內容:
兩條內角平分線等長的三角形為等腰三角形
此定理也叫斯坦納-雷米歐司定理

定理證明:

a023-2.jpg 

如圖BD、CE都為角平分線
設BC=a,AB=c,AC=b

由於BD、CE都為角平分線
得AD=bc/(a+c),CD=ab/(a+c),AE=bc/(a+b),BE=ac/(a+b)

Schooten定理
BD^2=AB*BC-AD*DC=ac-bc/(a+c)*ab/(a+c)
CE^2=AC*BC-AE*EB=ab-bc/(a+b)*ac/(a+b)

又BD=CE
故ac-bc/(a+c)*ab/(a+c)=ab-bc/(a+b)*ac/(a+b)

整理得
(b-c)(a^3+a^2*b+a^2*c+3abc+b^2*c+c^2*b)=0

顯然b-c=0
即△ABC為等腰三角形

得證

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