a017-1.jpg 

定理內容:
過三角形外接圓上任意一點作三邊直線的垂線
則三垂足點共線
此定理也叫西姆松定理、西摩松定理

定理證明:

a017-2.jpg 

如圖,從P點引出三條垂線其BC、AC、AB的垂足分別為L、M、N
連PA、PC

可得A,N,P,M四點共圓、P,M,L,C四點共圓

∠NMA=90°-∠NMP=90°-∠NAP=90°-∠BCP=∠LPC=∠LMC
即L、M、N共線

得證


逆定理內容:
若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線
則該點在此三角形的外接圓上

逆定理證明:

a017-3.jpg  

如圖
設P對BC、AC、AB的射影分別為L、M、N且L、M、N共線
連PA、PB
可得A,N,P,M四點共圓、P,A,B,L四點共圓

∠PAC=∠PAM=∠PNM=∠PNL=∠PBL=∠PBC

得P、A、B、C四點共圓
即P在ABC外接圓上

得證

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