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難度：☆☆☆☆☆
題目：
給定銳角三角形ABC,O為其外心
直線AO交BC於D
分別在AB,AC上取E,F使得A,E,D,F四點共圓
過E,F作BC垂線交於P,Q
求證PQ為定長
看解答請點此
在AB和AC上取點E'和F'使得∠AE'D=∠AF'D=90°
過E'和F'做BC垂線交於P'和Q'
只需證明PQ=P'Q'即可
也就是PP'=QQ'
取AB中點M顯然OM垂直AB
∠AOM=1/2*∠AOB=∠C
易得△AOM相似△FCQ
可設∠MAO=∠QFC=α
同理可設∠NAO=∠P'E'B=β
∵A,E,Q,F四點共圓
∴∠E'ED=∠F'FD
又∠EE'D=∠FF'D=90°
可設∠EDE'=∠FDF'=γ
QQ'=FF'*sinα=F'D*tanγ*sinα=AD*sinβ*tanγ*sinα
PP'=EE'*sinβ=E'D*tanγ*sinβ=AD*sinβ*tanγ*sinα
故得PP'=QQ'
即PQ為定長
得證
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