a016-1.jpg

定理內容:
設圓O1、圓O2的半徑分別為r和R,圓心距為d
若存在一個三角形以圓O1為內切圓(或旁切圓)
同時又以內接於圓O2
則d^2=R^2-2Rr (旁切圓則是d^2=R^2+2Rr)
(此定理的逆定理也成立)

定理證明:

a016-2.jpg 

連接AO1並延長交圓2於D,連接BD
過O1作圓O2的直徑EF

由圓冪定理有DO1*AO1=EO1*FO1=|R^2-d^2|

又AO1=r/sinα
∠BO1D=β+α=∠O1BD (旁切圓為∠BO1D=β+α=∠O1BD)
得DO1=BD=2Rsinα

所以AO1*DO1=r/sinα*2Rsinα=2Rr

即|R^2-d^2|=2Rr
當圓O1為內切圓時R>d得d^2=R^2-2Rr
當圓O1為旁切圓時R<d得d^2=R^2+2Rr

得證


逆定理內容:
設圓O1、圓O2的半徑分別為r和R,圓心距為d
若d^2=R^2-2Rr (或是d^2=R^2+2Rr)
則存在一個△ABC,它外切(或旁切)於圓O1又內接於圓O2

逆定理證明:

a016-3.jpg  

如圖
在圓O2上任取一點A,延長AO1交圓O2於D
在圓O2上取B、C使DB=DC=DO1

DB=DO1=2Rsinα
DO1*AO1=|R^2-d^2|

代入d^2=R^2-2Rr (d^2=R^2+2Rr)
化簡得r=AO1*sinα
即sin=r/AO1
故AB為圓O1的切線
同理AC也為圓O1的切線

又因為∠DBO1=∠BO1D=β+α (β-α)
∠DBC=∠DAC=α
所以∠O1BC=β+α-α (β-α+α)=β
故BC也為圓O1的切線

即△ABC為所求

得證






創作者介紹

幾何寶庫

ej0cl6 發表在 痞客邦 PIXNET 留言(0) 人氣()