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定理內容:
對於任意圓內接四邊形ABCD
則AB*CD+AD*BC=AC*BD
此定理也叫托勒密定理

定理證明:

a014-2.jpg 

在BD上取一點P使得∠BAP=∠CAD
∵∠BAP=∠CAD,∠ABP=∠ACD
∴△ABP~△ACD(AA)
→AB/AC=BP/CD
→AB*CD=AC*BP

∠BAC=∠BAP+∠PAC=∠CAD+∠PAC=∠PAD
∵∠BAC=∠PAD,∠BCA=∠PDA
∴△ABC~△APD(AA)
→BC/PD=AC/AD
→BC*AD=AC*PD

AB*CD+BC*AD=AC*BP+AC*PD=AC*BD

得證


逆定理內容:
四邊形ABCD中
若AB*CD+AD*BC=AC*BD
則此四邊形為圓內接四邊形

逆定理證明:

Ptolemy不等式
等號成立的條件為E在BD上
此時∠ABD=∠ACD
即A、B、C、D四點共圓
即四邊形ABCD為圓內接四邊形

得證




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