幾何寶庫

 

定理內容：
設P為△內部或邊上一點
P到BC、AC、AB的距離為PD、PE、PF
則PA+PB+PC≧2(PD+PE+PF)
此定理也叫厄多斯莫德爾不等式

定理證明：
由餘弦定理得
DE^2=PD^2+PE^2-2*PD*PE*cos(∠EPD)
=PD^2+PE^2-2*PD*PE*cos(A+B)
=(PD*sinB+PE*sinA)^2+(PD*cosB-PE*cosA)^2
≧(PD*sinB+PE*sinA)^2
→DE≧PD*sinB+PE*sinA

由正弦定理和P,E,D,C四點共圓得
DE/sinC=EC/sin(∠EDC)=EC/sin(∠EPC)=PC/sin(∠PEC)=PC
→DE=PC*sinC

∴PC*sinC≧PD*sinB+PE*sinA
→PC≧PD*sinB/sinC+PE*sinA/sinC

∴PA+PB+PC≧PD*(sinB/sinC+sinC/sinB)+PE(sinA/sinC+sinC/sinA)+PF(sinB/sinA+sinA/sinB)
≧2(PD+PE+PF)

得證