a009-1.jpg 

定理內容:
直角三角形ABC中,∠C為直角
則AC^2+BC^2=AB^2
此定理也叫畢氏定理、勾股弦定理

定理證明:

a009-2.jpg 

作AB邊上的高CD

∠CAD=∠DCB
∠CBD=∠DCA

根據兩上式可得到

三角形ABC相似於三角形ACD→AB/AC=AC/AD→AC^2=AB*AD
三角形ABC相似於三角形CBD→AB/BC=BC/BD→BC^2=AB*BD

AC^2+BC^2=AB*AD+AB*BD=AB(AD+BD)=AB^2

得證


逆定理內容:
△ABC中若AC^2+BC^2=AB^2
則△ABC為直角三角形且∠C為直角

逆定理證明:
用反證法

 a009-3.jpg

若∠ACB>90°
則可在AC延長線上取一點D使得∠ADB=90°
則由商高定理得
AB^2=AD^2+BD^2=(AC+CD)^2+BD^2
=AC^2+(CD^2+BD^2)+2*AC*CD
=AC^2+BC^2+2*AC*CD>AC^2+BC^2
與題意矛盾
 
a009-4.jpg

若∠ACB>90°
則可在AC線段上取一點D使得∠ADB=90°
則由商高定理得
AB^2=AD^2+BD^2=(AC-CD)^2+BD^2
=AC^2+(CD^2+BD^2)-2*AC*CD
=AC^2+BC^2-2*AC*CD<AC^2+BC^2
與題意矛盾

故∠ACB=90°且△ABC為直角三角形

得證




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  • 訪客
  • 後面的「若∠ACB>90°」打錯了,正確應該是「若∠ACB<90°」。